行列式 - 复习总结

二阶行列式

定义

对于 $2 \times 2$ 矩阵 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$，其行列式定义为：

$$\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$

几何意义

二阶行列式的值等于以两个行向量（或列向量）为邻边的平行四边形的有向面积。

例题

计算 $\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{vmatrix}$

解：$\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} = 3 \times 4 - 2 \times 5 = 12 - 10 = 2$

三阶行列式

定义

对于 $3 \times 3$ 矩阵，三阶行列式定义为：

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}$$

例题

计算 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 10 \end{vmatrix}$

解：$= 1 \cdot 5 \cdot 10 + 2 \cdot 6 \cdot 7 + 3 \cdot 4 \cdot 8 - 3 \cdot 5 \cdot 7 - 2 \cdot 4 \cdot 10 - 1 \cdot 6 \cdot 8$
$= 50 + 84 + 96 - 105 - 80 - 48 = -3$

对角线法则

定义

对角线法则是计算三阶行列式的一种直观方法：将矩阵的第1、2列复制到矩阵右边，然后：
• 主对角线及其平行线上元素的乘积之和（正项）
• 减去副对角线及其平行线上元素的乘积之和（负项）

计算步骤

对于矩阵：

$$\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{array}$$

正项：$a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}$
负项：$a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}$

余子式

定义

设矩阵 $A$ 为 $n \times n$ 阶矩阵，删去第 $i$ 行和第 $j$ 列后得到的 $(n-1) \times (n-1)$ 阶矩阵的行列式，称为元素 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$。

例题

求矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$ 中元素 $a_{11} = 1$ 的余子式 $M_{11}$。

解：删去第1行和第1列，得：

$$M_{11} = \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8 = 45 - 48 = -3$$

代数余子式

定义

元素 $a_{ij}$ 的代数余子式定义为：

$$A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$$

其中 $M_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 的余子式。

例题

继续上例，求 $a_{11}$ 的代数余子式 $A_{11}$。

解：$A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = 1 \times (-3) = -3$

再求 $a_{12}$ 的代数余子式 $A_{12}$。
$M_{12} = \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = 36 - 42 = -6$
$A_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -1 \times (-6) = 6$

伴随矩阵

定义

设 $A$ 为 $n \times n$ 矩阵，将 $A$ 的代数余子式 $A_{ij}$ 按列排成一个矩阵再转置，称为 $A$ 的伴随矩阵，记作 $A^*$ 或 $\text{adj}(A)$。

$$A^* = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix}$$

关键性质

$$A \cdot A^* = A^* \cdot A = (\det A) \cdot I$$

伴随矩阵的行列式

性质

设 $A$ 为 $n \times n$ 矩阵，则伴随矩阵的行列式满足：

$$\det(A^*) = (\det A)^{n-1}$$

例题

若 $\det A = 3$，$A$ 是 $3 \times 3$ 矩阵，求 $\det(A^*)$。

解：$\det(A^*) = (\det A)^{3-1} = 3^2 = 9$

行列式展开

定义

按行展开：沿第 $i$ 行展开：

$$\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{ij}$$

按列展开：沿第 $j$ 列展开：

$$\det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} A_{ij}$$

例题

计算 $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}$，按第1行展开。

解：$\det(A) = 1 \cdot A_{11} + 0 \cdot A_{12} + 2 \cdot A_{13}$
$A_{11} = \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 12 - 1 = 11$
$A_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \times (3 - 8) = -5$
$\det(A) = 1 \times 11 + 2 \times (-5) = 11 - 10 = 1$

特殊矩阵的行列式

常见结论

① 对角矩阵：$\det(D) = d_{11}d_{22}\cdots d_{nn}$（对角线元素的乘积）
② 三角矩阵（上三角或下三角）：行列式等于对角线元素的乘积
③ 行列互换：若矩阵有两行（列）完全相同，则行列式为 0
④ 零行或零列：若矩阵有一行或一列全为 0，则行列式为 0

例题

计算 $\begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 5 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{vmatrix}$

解：这是一个下三角矩阵，其行列式等于对角线元素的乘积：
$\det(A) = 2 \times 3 \times 5 \times 4 = 120$

逆矩阵的行列式

性质

若矩阵 $A$ 可逆，则：

$$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$$

推论

矩阵 $A$ 可逆当且仅当 $\det(A) \neq 0$。

例题

已知 $\det(A) = 5$，求 $\det(A^{-1})$。

解：$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{5}$

范德蒙德行列式

定义

范德蒙德行列式具有特殊形式：

$$\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)$$

例题

计算 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \end{vmatrix}$

解：这是范德蒙德行列式，其中 $x_1=1, x_2=2, x_3=3$。
$\det = (2-1)(3-1)(3-2) = 1 \times 2 \times 1 = 2$

行列式的几何意义

几何解释

对于 $n \times n$ 矩阵 $A$，$|\det(A)|$ 表示以 $A$ 的行向量（或列向量）为棱的 $n$ 维平行体的有向体积。
• 若 $\det(A) > 0$，则保持方向；
• 若 $\det(A) < 0$，则反向；
• 若 $\det(A) = 0$，则体积为 0，向量线性相关。

二维情形

矩阵 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ 的行列式 $\det(A) = 6 - 1 = 5$，表示以向量 $(2,1)$ 和 $(1,3)$ 为邻边的平行四边形面积为 5。

行列式与线性变换

变换性质

若 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵对应的线性变换，则：
• $|\det(A)|$ 表示变换前后体积的缩放因子；
• $\det(A) = 0$ 表示变换将空间压缩到更低维度。

例题

旋转变换 $A = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ 的行列式。

解：$\det(A) = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$
这说明旋转变换不改变平面的面积（不缩放）。

行列式与向量组的线性相关性

判断准则

对于 $n$ 个 $n$ 维列向量 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n$ 构成的矩阵 $A = [\mathbf{v}_1 \, \mathbf{v}_2 \, \cdots \, \mathbf{v}_n]$：
• $\det(A) \neq 0$ ⟺ 向量组线性无关
• $\det(A) = 0$ ⟺ 向量组线性相关

例题

判断向量组 $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$，$\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$，$\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 0 \end{bmatrix}$ 的线性相关性。

解：计算 $\det(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 5 \\ 1 & 3 & 0 \end{bmatrix})$

$= 1 \cdot 1 \cdot 0 + 2 \cdot 5 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2 \cdot 0 - 1 \cdot 5 \cdot 3$

$= 0 + 10 + 6 - 1 - 0 - 15 = 0$
因为行列式为 0，所以向量组线性相关。

初等变换与行列式

变换规则

① 行（列）交换：交换两行或两列，行列式反号
② 数乘：某行（或某列）乘以 $k$，行列式乘以 $k$
③ 倍加：将某行（或某列）的 $k$ 倍加到另一行（或某列），行列式不变

例题

利用初等行变换计算 $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

解：
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} -\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}$ $\xrightarrow{R_2-2R_1, R_3-3R_1} -\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & 1 \\ 0 & -5 & -1 \end{vmatrix}$
$= -1 \times \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -5 & -1 \end{vmatrix} = -(3 + 5) = -8$

矩阵乘积的行列式

乘积法则

对于 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$：

$$\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$$

推广

$$\det(A_1 A_2 \cdots A_k) = \det(A_1) \det(A_2) \cdots \det(A_k)$$

例题

已知 $\det(A) = 2$，$\det(B) = 3$，求 $\det(AB)$。

解：$\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) = 2 \times 3 = 6$

转置矩阵的行列式

性质

矩阵与其转置矩阵的行列式相等：

$$\det(A^T) = \det(A)$$

推论

行列式关于行的性质同样适用于列，因为转置操作将行列相互转换。

矩阵数乘的行列式

数乘法则

对于 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和标量 $k$：

$$\det(kA) = k^n \det(A)$$

例题

已知 $\det(A) = 5$，$A$ 是 $3 \times 3$ 矩阵，求 $\det(2A)$。

解：$\det(2A) = 2^3 \det(A) = 8 \times 5 = 40$

逆矩阵与伴随矩阵

求逆公式

当 $\det(A) \neq 0$ 时，矩阵 $A$ 可逆，其逆矩阵为：

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} A^*$$

条件

矩阵可逆 ⟺ $\det(A) \neq 0$ ⟺ 矩阵满秩 ⟺ 各列线性无关

例题

求矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ 的逆矩阵。

解：$\det(A) = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2 \neq 0$
伴随矩阵 $A^* = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{bmatrix}$

克拉默法则

定理

对于 $n \times n$ 线性方程组 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$，若 $\det(A) \neq 0$，则方程组有唯一解：

$$x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)}, \quad j = 1, 2, \ldots, n$$

其中 $A_j$ 是将 $A$ 的第 $j$ 列替换为常数项列向量 $\mathbf{b}$ 得到的矩阵。

例题

用克拉默法则求解方程组：$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + 3y = 7 \end{cases}$

解：$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$，$\det(A) = 6 - 1 = 5$
$A_1 = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}$，$\det(A_1) = 15 - 7 = 8$
$A_2 = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 7 \end{bmatrix}$，$\det(A_2) = 14 - 5 = 9$
$x = \frac{8}{5}$，$y = \frac{9}{5}$